Binomische Formeln

Hier wollen wir uns den Binomischen Formeln zuwenden, die ein sehr nützliches Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik darstellt. So lassen sich mit Hilfe der Binomischen Formeln nicht nur Klammerausdrücke ausrechnen, sondern sie werden auch zur Vereinfachung von Brücken, zum erleichtern vom Wurzelziehen und für vielen anderen Dingen benutzt.

Bevor wir uns an Übungsaufgaben machen, wollen wir erst einmal klären, wo dieser merkwürdige Name "Binomische Formeln" überhaupt herkommt.

Der Name der binomischen Formel geht nicht, wie einige Quellen behaupten, auf Alessandro Binomi oder Francesco Binomi zurück, denn bei beiden handelt es sich um rein fiktive Gestalten. Vielmehr geht der Begriff auf das Substantiv Binom - also zwei (bi) Namen (Nomen) - zurück, was sich auf die zwei vorkommenden Unbekannten (a) und (b) bezieht.

Nun wollen wir uns aber wirklich den Binomischen Formeln widmen. Davon gibt es drei Stück und da liegt es natürlich nahe mit er ersten zu Beginnen.

Die erste Binomische Formel

Diese Formel trägt auch den Namen Plus-Formel. Der Grund hierfür wird klar, wenn wir sie uns einmal anschauen:

 (a+b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2.

Innerhalb der Klammer sind a und b mit einem Plus verbunden. Doch wie kommt man nun auf diese Formel?

Hierzu gibt es zwei Herangehensweisen, die wir uns nacheinander anschauen wollen.

Herangehensweisen 1

Zum einen kann man auf die erste Binomische Formel durch einfaches Ausrechnen des Klammerausdruckes auf der linken Seite kommen, schließlich ist (a+b)^2 nichts anderes als (a+b)(a+b). Um dies zu berechnen muss man wissen, dass man zwei Klammerausdrücke miteinander multipliziert, indem man jeden Ausdruck in der ersten Klammer mit jedem Ausdruck der zweiten Klammer multipliziert und diese Ergebnisse zusammenrechnet. In unserem Falle sieht das also so aus:

(a+b)(a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b \cdot b.

Nun benutzt man noch das Kommutativgesetz, das besagt, dass a\cdot b das gleiche wie b\cdot a ist und fasst zusammen, erhält man die erste Binomische Formel.

a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b \cdot b = a\cdot a + a\cdot b + a\cdot b + b \cdot b = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2 .

Herangehensweisen 2
Die erste binomische Formel, dargestellt mittels farbiger Rechtecke.

Wie schon oben erwähnt gibt es noch eine andere Herangehensweise. Hierbei betrachtet man das Ganze aus einem geometrischen Standpunkt. Jeden Teil der ersten Binomischen Formel kann man sich auch als eine Fläche, wie in der oben stehende Abbildung dargestellt, denken. Hier haben wir vier Rechtecke - Quadrate sind ja auch Rechtecke, deren Seiten gleich lang sind:

• eine dunkel blaues Quadrat der Seitenlänge a
• ein gelbes Quadrat der Seitenlänge b und
• zwei hellblaue Rechtecke mit den Seitenlängen a und b.

Die Binomische Formel frag nun wie groß die Fläche des aus den vier Rechtecken zusammengesetzten Quadrates ist, das eine Seitenlänge von (a+b) hat. Wie man nun recht einfach anhand der Zeichnung sieht, ist das linke Quadrate mit einer Fläche von (a+b)(a+b)=(a+b)^2 genauso groß wie das rechte Quadrat, dessen Gesamtfläche sich aus den Flächen der einzelnen Rechtecke zusammen setzt. Somit haben wir wieder die erste Binomische Formel

 (a+b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2,

sind jedoch mit einer ganz anderen Herangehensweise zu diesem Ergebnis gelangt.

Die zweite Binomische Formel

Die zweite Binomische Formel ist auch unter dem Namen Minus-Formel bekannt. Wie man sich leicht denken kann taucht ihn ihr eine Minus an Stelle des Plus aus der ersten Binomischen Formel auf. Die zweite Binomische Formel sieht daher so aus:

 (a-b)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2.

Auch hier gibt es wieder zwei Herangehensweisen, auf die wir eingehen wollen.

Herangehensweisen 1

Auch hier betrachten wir erst einmal das einfache Ausrechnen der linken Klammer.

(a-b)(a-b) = a\cdot a + a\cdot (-b) + (-b)\cdot a + (-b) \cdot (-b).

Neben dem Kommutativgesetz müssen wir beim Zusammenfassen noch auf die Vorzeichen von b achten. Es gilt wie immer:

• Minus mal Plus ist Minus
• Plus mal Minus ist Minus uns
• Minus mal Minus ist Minus.

Somit kommen wir auf die rechte Seite der zweiten Binomischen Formel:

a\cdot a + 2\cdot (a\cdot (-b)) + (-b) \cdot (-b) = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2.

Herangehensweisen 2
Die zweite binomische Formel, dargestellt mittels farbiger Rechtecke.

Genauso gut lässt sich die zweite Binomische Formel aber auch wieder als geometrisches Problem darstellen. Dieses Mal hat das oben dargestellte, große, zusammengesetzte Quadrat eine Seitenlänge von a. Interessiert sind wir an der Fläche die übrig bleibt, wenn wir diese Seitenlänge um b reduzieren. Damit bleibt also nur noch das dunkel blau umrandete Quadrat übrig. Diese hat eine Seitenlänge von (a-b). Um also auf diese Flächen von (a-b)^2 zu gelangen, müssen wir von der ursprünglichen Fläche (a^2) die beiden Flächen (a\cdot b) und (b\cdot a) abziehen. Damit haben wir aber nicht nur die hell blauen Flächen von der ursprüngliche Fläche abgezogen, sondern auch das gelbe Quadrat b^2 und zwar doppelt. Deswegen müssen wir zur Korrektur die Fläche des gelben Quadrates nochmal hinzuaddieren. Wenn wir dies nun in Form einer Gleichung aufschreiben, erhalten wir wieder die zweite Binomische Formel:

 (a-b)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2.

Die dritte Binomische Formel

Die dritte und letzte Binomische Formel wird teilweise auch Plus-Minus-Formel genannt, da in ihr sowohl eine Klammer mit Plus als auch eine mit Minus auftauchen. Demnach sieht sie so aus:

 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2.

Wie bei den anderen beiden binomischen Formeln wollen wir auch hier beide Herangehensweisen besprechen.

Herangehensweise 1

Multiplizieren wir die beiden Klammern aus

(a+b)(a-b) = a\cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b),

so sehen wir recht schnell, wenn wir das Kommutativgesetz im Hinterkopf behalten, dass sich die beiden mittleren Ausdrücke gegeneinander kürzen lassen, da sie das jeweils negative von anderen sind. Damit haben wir  auch schon die dritte Binomische Formel berechnet:

 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2.

Herangehensweise 2
Die dritte binomische Formel, dargestellt mittels farbiger Rechtecke.

Die grafische Darstellung der dritten Binomischen Formel ist jedoch etwas komplizierter. Im oberen Bild haben wir wieder ein Quadrat der Seitenlänge a. Diese Fläche möchten wir nun um die Fläche des gelb umrandeten Quadrates, der Seitenlänge b, der verkleinern. Die Fläche die übrig bleibt ist demnach:

a^2-b^2

Achtung: Wir wollen nicht die Seiten des Quadrates verkleinern, sondern nur die Fläche b^2 von der gesamten Fläche a^2 abziehen!

Die verbleibende Fläche schneiden wir jetzt entlang der gestrichelten Diagonale durch. Die beiden Teile fügen wir dann wieder so zusammen, dass Rechteck auf der rechten Seite herauskommt. Dieses Rechteck hat nun eine Höhe von (a-b) und eine Breite von (a+b). Da die Fläche des rechten Rechtecks und die vom linken Quadrat übrig bleibende Fläche gleich sind - das Rechteck haben wir ja gerade aus dieser Fläche zusammengesetzt - gilt:

 a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).

Dies ist wieder die dritte Binomische Formel, bei der im Gegensatz zur vorherigen Schreibweise lediglich die recht und linke Seite getauscht wurden.

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