Die binomische Formeln - ganz allgemein

Wir haben bereits gesehen, wie man eine Klammer der Form (a+b)^^2 bzw. (a-b)^2 mit der ersten bzw. zweiten Binomischen Formel ohne groß zu rechnen auflösen kann und das ganze auch in Aufgaben angewandt.

Wie sieht das ganze aber jetzt aus, wenn wir einen anderen Exponenten als 2 an den Klammern stehen haben?

Betrachten verschiedener Exponenten

Auch hierzu gibt es eine recht einfache Vorgehensweise, die einem sehr viel Arbeit ersparen kann, wenn man sie kennt. Zu Beginn beschränken wir uns erst einmal auf den Fall, dass innerhalb der Klammer a und b mit einem Plus verbunden sind. Schauen wir uns nun den einfachsten Fall mit dem Exponenten 1 an:

 (a+b)^1 = a+b.

So, das war jetzt ganze einfach, das ein Ausdruck hoch 1 ja nichts anderes ist als der Ausdruck selbst. Die nächste Gleichung gilt für den Exponenten 2, was nichts anderes als die erste Binomische Formel ist:

 (a+b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2.

Die Gleichung für den Exponenten 3 ist nun etwas neues, dazu stellen wir sie erst einmal etwas anders dar:

 (a+b)^3 = (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) = (a+b)\cdot (a+b)^2.

Für die zweite Klammer können wir jetzt die erste binomische Formel zur Hilfe nehmen:

 (a+b)\cdot (a+b)^2 = (a+b)\cdot (a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2).

Nun multiplizieren wir jeden Ausdruck der ersten Klammer mit jedem Ausdruck der zweiten Klammer:

(a+b)\cdot (a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2) = (a^3 + 2\cdot a^2\cdot b + a\cdot b^2)+(a^2\cdot b + 2\cdot a\cdot b^2 + b^3).

Fassen wir das zusammen, so kommen erhalten wir:

 (a+b)^3 = a^3+ 3\cdot a^2\cdot b+ 3\cdot a\cdot b^2 + b^3.

Genauso verfahren wir für den Exponenten 4

 (a+b)^4.

Versucht doch mal selbst auf das Ergebnis zu kommen, ihr werdet sehen, dass es gar nicht so schwer ist wie man meinen könnt.

 (a+b)^4=a^4+ 4\cdot a^3\cdot b+6\cdot a^2\cdot b^2 + 4\cdot a\cdot b^3 + b^4.

Einen kleinen Trick nutzen

Nun wollen wir die bisherigen Ergebnisse einmal zusammenfassen, jedoch in einer leicht anderen Schreibweise. Hierbei nutzen wir noch einen kleinen Trick. Eine beliebige Zahl hoch Null ist immer Eins (a^0=b^0=1).

 (a+b)^1 = a^1\cdot b^0+a^0\cdot b^1

 (a+b)^2 = a^2\cdot b^0 + 2\cdot a^1\cdot b^1 + a^0\cdot b^2

 (a+b)^3 = a^3\cdot b^0+ 3\cdot a^2\cdot b^1+ 3\cdot a^1\cdot b^2 + a^0\cdot b^3

 (a+b)^4=a^4\cdot b^0 + 4\cdot a^3\cdot b^1+6\cdot a^2\cdot b^2 + 4\cdot a^1\cdot b^3 + a^0\cdot b^4

Wenn wir uns nun diese vier Gleichungen etwas genauer anschauen, dann erkennen wir einige Muster darin. Zunächst einmal ist der Exponent von a im ersten Teil der Summe immer genauso groß wie der Exponent der Klammer und der Exponent von b Null. Für den letzten Teil der Summe ist es genau andersherum, hier ist der Exponent von a Null und der von b so groß wie der Klammer-Exponent. Bei den Teilen dazwischen sinkt a von Links nach Rechst jeweils um Eins und b steigt dafür um Eins.

Versteckte Gesetzmäßigkeit

Was man auf den ersten Blick nicht sieht, ist die Gesetzmäßigkeit, die hinter den Koeffizienten steckt - also den Zahlen vor dem a und dem b. Um auf diese zu kommen, schreiben wir uns mal die Koeffizienten in Form eines Dreiecks auf. Ganz oben steht die 1, für den Fall des Exponenten 0 - wir erinnern uns irgendetwas hoch null ist 1. Darunter steht in der zweiten Zeile zweimal die 1 aus der Gleichung für den Exponenten 1. eine Zeile tiefer stehen die 1, die 2 und nochmal die 1 aus der ersten Binomischen Formel. In der vierten Zeile schreiben wir 1, 3, 3 und 1 für die zum Exponenten 3 gehörende Gleichung und schließlich für den Exponenten 4 die 1, 4, 6, 4 und 1 in die fünfte Zeile. Das Ganze sieht dann so aus:

Das Pascalsche Dreieck, entwickelt bis zum Exponenten 4.

Wie dem einen oder anderen jetzt vielleicht schon auffällt, steht zum Anfang und zum Ende einer Zeile immer eine 1. Die Zahlen dazwischen sind immer die Summe der beiden Zahlen, die eine Zeile darüber links und rechts versetzt von der Zahl stehen. Um das deutlicher zu machen, bilden wir jetzt die sechste Zeile - die zum Exponenten 5 gehört. Zunächst schreiben wir eine 1 hin. Die zweite Zahl ist, nach der vorhin von uns gefundenen Gesetzmäßigkeit, die Summe aus 1 und 4, aus der Zeile darüber (rot). Als nächstes kommt zweimal die 10 als Summe aus 4 und 6 (grün), bzw. 6 und 4 (blau). Nun folgt nochmal eine 5, da eine Zeile darüber eine 4 und einen 1 steht (gelb). Zum Schluss schreiben wir wieder eine 1 in die Zeile. In unserem Dreieck sieht das dann so aus:

Das Pascalsches Dreieck bis zum Exponenten 5. Die Entwicklung der sechsten Zeile (Exponent 5) ist farblich hervorgehoben.

Beides zusammen nutzen

Jetzt wollen wir unsere beiden Erkenntnisse, über die Sortierung der Exponenten und die Koeffizienten, zu einer Gleichung zusammenfügen. Wir wissen, dass die Exponenten der ersten Unbekannten fallen und die der zweiten Unbekannten Steigen:

 (a+b)^5 = a^5\cdot b^0 +a^4\cdot b^1 +a^3\cdot b^2 +a^2\cdot b^3 +a^1\cdot b^4 +a^0\cdot b^5.

Jetzt fehlen natürlich noch die Koeffizienten, die wir aus der letzten Zeile unseres Dreiecks ablesen. Zur besseren Übersicht, lassen wir die Unbekannten mit dem Exponenten 0 weg, da sie ja Eins sind:

 (a+b)^5 = a^5 +5\cdot a^4\cdot b +10\cdot a^3\cdot b^2 +10\cdot a^2\cdot b^3 +5\cdot a\cdot b^4 + b^5.

Somit haben wir den Klammerausdruck aufgelöst ohne die fünf Klammern aus zurechnen, die sich ja hinter der Klammer mit dem Exponenten 5 verbergen.

Binomische Formeln mit einem Minus

Doch wie sieht das jetzt für Klammern mit einem Minus aus?

Binomische Formeln mit einem Minus geht man genauso an wie die binomische Formeln mit einem Plus. Nur muss man zusätzlich das Vorzeichen der Koeffizienten ändern. Der erste Koeffizient bekommt ein Plus, der Zweite ein Minus, der Dritte wieder ein Plus und so weiter. Ursache hierfür ist ganz einfach die Regel, dass Minus mal Minus gleich Plus ist. Für die vorhin von uns bestimmte Gleichung würde daher gelten:

 (a-b)^5 = a^5 -5\cdot a^4\cdot b +10\cdot a^3\cdot b^2 - 10\cdot a^2\cdot b^3 +5\cdot a\cdot b^4 - b^5.

Zusammengefasst

Somit kann man drei einfachen Regeln folgend den Klammerausdruck für jeden beliebigen Exponenten auflösen:

1. Die Unbekannten so gruppieren, dass der Exponent der ersten Unbekannten, je Gruppe, um Eins bis auf Null fällt und der Exponent der zweiten Unbekannten um Eins steigt, bis er den Wert des Exponenten der Klammer erreicht hat.

2. Jeder dieser Gruppen der Reihe nach die Koeffizienten der passenden Zeile des Dreiecks - auch Pascalsches Dreieck genannt - zuordnen. Die passende Zeilen Nummer erhält man, indem man den Exponenten der Klammer um Eins erhöht.

3. Im Falle einer Minus-Klammer, die Koeffizienten abwechselnd mit Plus und Minus versehen.

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