Gleichungen mit zwei Unbekannten

Sicherlich hast du dich auch schon gefragt, wie du eine Gleichung mit zwei Unbekannten lösen kannst. Kommst du trotzdem nicht weiter? Dann findest du hier einen passenden Tutor*. Wie man mit einer Gleichung mit einer Unbekannten löst, erklären wir dir ja schon an anderen Stellen. Vielleicht hast du diese Beiträge ja auch schon gelesen und bist jetzt auf den Geschmack gekommen.

Nun die einfache Antwort auf die Frage wie man einen Gleichung mit 2 Unbekannten löst, lautet: Gar nicht!

Okay, die Frage war jetzt etwas gemein gestellt, mit Absicht. Denn leider reicht es nicht aus, wenn du nur einen Gleichung mit zwei oder auch mehreren Unbekannten hast, du brauchst mindesten genauso viele Gleichungen wie du Unbekannte hast.

Hier werden wir dir zeigen und erklären, was du alles zum Lösen von Gleichungen mit zwei Unbekannten brauchst und wie du am Ende zu einer Lösung kommst.

Übrigens: Alles was du hier erfährst, gilt genauso auch für Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten. Der Weg zur Lösung wird zwar etwas aufwändiger, da du für drei, vier oder fünf Unbekannte auch drei, vier oder fünf Gleichungen brauchst. Das Prinzip dahinter ist aber immer das selbe wie für zwei Unbekannte.

Tipp: Auch ein Taschenrechner*, wie der CASIO FX-991DE, kann dir bei solchen Aufgaben helfen.

Was brauche Ich?

 

Die Gleichungen mit zwei Unbekannten!

Nun zu Beginn brauchst du natürlich erst einmal die Gleichungen. Wie oben erwähnt müssen es mindestens zwei Gleichungen sein, wenn du zwei Unbekannte hast. Aber an diese Gleichungen werden noch ein paar kleine Anforderungen gestellt. Diese sind aber nichts wildes und eigentlich so einfach, dass du darüber normalerweise sicher nicht einmal nachdenken würdest. Nichts desto trotz sollten sie hier genannt werden.

 

Alle Unbekannten tauchen auf!

Zwar müssen nicht alle Unbekannten in jeder Gleichung auftauchen, aber jede Unbekannte die du bestimmen willst muss mindestens in einer Gleichung zu finden sein. Eigentlich ganz logisch. Wie du sofort siehst, macht es ja keinen Sinn folgende Aufgabe zu stellen.

Kai kauft 6 Äpfel für 1,20€.

Maria kauft 3 Äpfel für 0,60€.

Wie teuer ist eine Birne?

 

Zusammenhang muss da sein!

Gleichungen mit zwei Unbekannten, in denen alle Unbekannten auch auftauchen reichen aber noch nicht ganz aus. Um bei unserem Äpfel und Birnen Beispiel zu bleiben schaue dir doch mal folgenden Gleichungen – in Textform – an:

Kai kauft 2 Äpfel und 3 Birnen für 1,40€.

Maria kauft 4 Äpfel und 2 Birnen für 1,60€.

Auf den ersten Blick scheint es sich um verwendbare Gleichungen okay zu sein. Aber ein kleiner Punkt fehlt hier. Es wird dir nicht gesagt, dass Kai und Maria beim gleichen Obsthändler einkaufen, und auch nicht, dass die beiden ihre Äpfel und Birnen zum gleiche Preis kaufen.

Das kommt dir jetzt vielleicht wie Erbsenzählerei oder eben Äpfel-und-Birnen-Zählerei vor, der wichtige Punkt hier ist aber, dass du nur Gleiches mit Gleichem vergleichen oder verrechnen kannst. Nur weil zwei Sachen gleich heißen, ist damit noch nicht unbedingt gemeint, dass sie auch das Gleiche beschreiben. Und in unserem Beispiel hier ist ein Apfel, der 0,30€ kostet etwas Anderes als ein Apfel für 0,20€.

Diese Zusammenfassen zweier unterschiedlicher Unbekannten kommt besonders schnell vor, wenn man für zwei Variablen aus Versehen den gleichen Buchstaben verwendet. Von daher solltest du immer vorsichtig sein und wissen was sich hinter welchem Begriff und welcher Abkürzung/Variablen steckt.

Was mache Ich?

Nach dem ganzen Vorgeplänkel willst du sicher wissen, was du nun machen musst um Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen. Am besten nehmen wir dazu wieder ein Beispiel, an der ich dir jeden Schritt erklären kann.

Kai und Maria gehen gemeinsam zu einem Obsthändler.

Kai kauft 2 Äpfel und 3 Birnen für 1,40€.

Maria kauft 4 Äpfel und 2 Birnen für 1,60€.

Wie viel kostet ein Apfel, eine Birne?

Schreiben wir uns dass ganze direkt als Ungleichung auf. Der Einfachheit halber nenne ich jetzt Äpfel a und Birnen b.

2·a + 3·b = 1,40€

4·a + 2·b = 1,60€

 

Bedingungen prüfen

Zunächst checkst du ob unsere Bedingungen von ober erfüllt sind.

Habe ich mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte?

Ja, es gibt zwei Unbekannte – Apfel und Birnen – und genauso viele Gleichungen.

Tauchen alle Unbekannten auf?

Ja, a/Äpfel und b/Birnen tauchen in beiden Gleichungen auf. Das ist sogar mehr als nötig. Es würde reichen wenn sie jeweils in einer Gleichung auftauchen.

Ist der Zusammenhang da?

Ja, es sind die gleichen Äpfel und Birnen, da sie beim selben Händler zur selben Zeit gekauft wurden.

Da alle unsere Bedingungen von oben erfüllt sind, können wir mit dem Rechnen beginnen.

 

Eine Gleichung umstellen

Zunächst suchst du dir einen der Gleichungen mit zwei Unbekannten aus und stellst sie so um, dass auf einer Seite des Gleichheitszeichens nur noch eine Unbekannte steht. Die andere Unbekannte behandelst du dabei so, als wäre sie eine ganz normale Zahl, die man nur nicht mit den anderen Zahlen verrechnen kann. Lass uns dazu einfach mal die zweite Gleichung nehmen.

4·a + 2·b  = 1,60€ | – 2·b

4·a          = 1,60€ – 2·b | ÷ 4

a             = 0,40€ – 0,5·b

 

In andere Gleichung einsetzen

Diese Ergebnis nimmst du nun und setzt es an stelle von a in die andere Gleichung ein. Das sollte dann in etwas so aussehen:

2·(0,40€ – 0,5·b) + 3·b = 1,40€.

Nun kannst du die Klammer ausrechnen. Damit erhältst du eine Gleichung mit einer Unbekannten, die du wie in Wie löse ich eine Gleichung? beschrieben ausrechnest. Dein Rechenweg könnte dann in etwa so aussehen:

0,80€ – 1·b + 3·b = 1,40€

0,80€ + 2·b         = 1,40€ | – 0,80€

2·b                     = 0,60€ | ÷ 2

b                        = 0,30€

Damit weist du jetzt schon einmal, dass eine Birne 0,30€ kostet. Nun ist noch die Frage offen, wie teuer ein Apfel ist.

 

Ergebnis wieder einsetzen

Dazu nimmst du dir dein gerade erarbeitetes Ergebnis und setzt es in die vorhin umgestellte Formel ein. Dann brauchst du nur noch zusammen zu rechnen und hast den Preis der Äpfel.

a = 0,40€ – 0,5·b

   = 0,40€ – 0,5·0,30€

   = 0,40€ – 0,15€

   = 0,25€

Und damit hast du auch schon die Gleichungen mit zwei Unbekannten gelöst. Super!

 

In 5 Schritten zur Lösung

Lass uns zum Schluss nochmal zusammenfassen, wie du beim Lösen von Gleichungen mit zwei Unbekannten vorgehen solltest:

  1. Überprüfe ob folgende Bedingungen erfüllt sind:
  • Habe ich mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte?
  • Tauchen alle Unbekannten auf?
  • Ist der Zusammenhang da?
  1. Stelle eine Gleichung so um, dass auf einer Seite nur noch eine Unbekannte steht.
  2. Setze die umgestellte Gleichung in die andere ein und löse diese Gleichung.
  3. Setze das Ergebnis in die vorher umgestellte Gleichung ein und rechne diese aus.

 

Ein tolles Nachschlage-Werk, wie du solche und andere Probleme lösen kannst ist übrigens "Lineare Gleichungssysteme lösen für Dummies (Das Pocketbuch)"*. Und das tolle daran ist, dass es sogar in jede Tasche passt, du es also für den Notfall immer dabei haben kannst!

Und bei mehr als 2 Unbekannten?

Auch wenn du mehr als 2 Unbekannte hast, kannst du dieses Muster verfolgen. Dabei setzt du nach Schritt 3. das Ergebnis nicht in die Umgestellte Formel ein sondern in eine andere der Gleichungen. Die machst du so lange, bis du alle Formeln abgearbeitet hast und nur noch eine Variable unbekannt ist. Nun machst du mit Schritt 4. weiter und kommst erfolgreich ans Ziel.

 

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