Wie löse ich eine Gleichung? (2)

Auf der vorherigen Seite haben wir dir gezeigt, wie man eine Gleichung mit einer Unbekannten löst. Bevor wir uns jetzt mit Gleichungen befassen, in denen mehrere Unbekannte vorkommen, legen wir unser Augenmerk erst einmal auf einen anderen Fall. Kommst du trotzdem nicht weiter? Dann findest du hier einen passenden Tutor*.

Für viele Menschen ist es gerade zu Anfang schwer eine Gleichung zu handhaben, bei der die Unbekannte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens auftaucht. Betrachten wir zum Beispiel die folgende Gleichung:

 3x + 7 = 4x + 9

Wie immer wollen wir hierzu auch ein kleines Bild zur Veranschaulichung liefern.

So sieht unsere Gleichung in der Waagen-Darstellung aus. Auf beiden Seiten befindet sich die gleiche Unbekannte.

Alle Unbekannten auf eine Seite ...

Wie wir sehen befinden sich auf der linken Seite drei und auf der rechten Seite vier "X" Kästchen. Im ersten Schritt wollen wir nun alle "X" Kästchen auf eine Seite bringen, sagen wir auf  die linke Seite. Dazu entfernen wir alle vier "X" Kästchen auf der rechten Seite und müssen demnach Links genauso viele wegnehmen.

Doch halt, Links haben wir doch nur drei "X" Kästchen!

Richtig! Wir müssten also auf der linken Seite ein "X" Kästchen hinzufügen um Links keins zu haben. Das klingt im ersten Moment vielleicht etwas komisch aber das gibt sich mit der Zeit und mit der Übung. Am einfachsten stellst du dir dazu ein Anti-"X" Kästchen vor, das ein "X" Kästchen auslöscht, wenn man eins auf seiner Seite hinzufügt. Mathematisch wird dies einfach mit einem Minus vor dem x ausgedrückt (-x). Unsere Gleichung sieht also jetzt so aus.

Erster Lösungsschritt: Alle Teile der Gleichung, in der die Unbekannte vorkommt, werden auf die gleiche Seite gebracht (hier Links).

... der Rest auf die andere Seite

Jetzt packen wir zunächst noch alle "1" Kästchen auf die rechte Seite, ziehen also von beiden Seiten 7 ab.

Im zweiten Schritt werden alle bekannten Größen auf die andere Seite gebracht (hier Rechts).

Nun sind wir schon fast am Ziel angekommen. Wir wissen jetzt, dass -x=2 ist. Uns interessiert aber wie groß x ist und nicht -x, daher multiplizieren wir beide Seiten mit -1, sprich wir drehen alle Vorzeichen um. Aus + wird - und andersherum.

Im dritten Schritt werden beide Seiten mit dem Faktor vor der Unbekannten multipliziert (hier -1).

Viele Wege führen ans Ziel

Diesen Schritt hätten wir auch durchführen können, bevor wir 7 auf beiden Seiten abgezogen haben. Danach hätten wir natürlich auf beiden Seiten -7 abziehen müssen oder +7 hinzufügen, was beides gleichbedeutend ist. Über beide Wege kommen wir auf das Ergebnis x=-2.

Um noch einen möglichen Weg zu nennen, hätten wir uns zum Anfang auch dafür entscheiden können alle "X" Kästchen auf die rechte Seite bringen können. Dann sähe das Ergebnis zwar so aus: -2=x, aber das ist im Grunde gleich. Über alle drei Wege kommen wir auf das Ergebnis, dass ein "X" Kästchen gleichbedeutend wie zwei "-1" Kästchen.

Dieses Beispiel soll zwei Dinge hervorheben:

1. Lass dich nicht davon verwirren, wenn eine Unbekannte auf beiden Seiten auftaucht.

2. Es gibt in der Mathematik nicht nur einen Weg zum Ziel, lass dich also nicht davon verwirren, wenn deine Rechnung etwas anders aussieht als die von jemand anderem.

Und wenn du ab und zu mal Hilfe brauchst, um auf den richtigen Rechenansatz zu kommen, können wir dir das kleine und feine Büchlein "Pocket Teacher: Gleichungen und Funktionen"* nur empfehlen. Es ist schön klein und handlich, so dass du es überall hin mitnehmen kannst, wo du es gebrauchen kannst.
Zum Abschluss hier nochmal alle drei Rechenwege nebeneinander, denn immerhin sind sie alle gleichwertig. (Zur Vergrößerung bitte das Bild anklicken.)

Hier nochmal alle Rechenschritte auf einen Blick. Wie man sieht gibt es auch andere Möglichkeiten zum Ergebnis zu gelangen. Alle sind gleichberechtigt und gleich gut.
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