Wie löse ich eine Gleichung?

Wir wollen uns nun einer Aufgabe widmen, die immer wieder vorkommt und auch in sehr hilfreichen Büchern wie z.B. "Grundlagen der Mathematik für Dummies"* immer wieder behandelt wird: Dem Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten. Kommst du trotzdem nicht weiter? Dann findest du hier einen passenden Tutor*. Bevor wir zu dem Fall kommen, dass die Unbekannte auf beiden Seiten auftaucht, soll sie erst einmal nur auf einer Seite erscheinen.

Schauen wir uns dazu einmal folgende Gleichung an:

 3 \cdot x +2 = 2 \cdot 6 + 5

Zuerst einmal müssen wir festlegen, wonach wir die Gleichung auflösen sollen. In diesem Fall haben wir nur eine Unbekannte  x, alle anderen Teile der Gleichung sind bekannt.

Veranschaulichen

Zur Veranschaulichung stellen wir die Gleichung zudem in Form einer Waage und farbiger Kästchen dar:

Erster Lösungsschritt zur Bestimmung der Unbekannten: Die Gleichung veranschaulichen.

Auf der einen Seite haben wir  3 grüne Kästchen mit dem Inhalt „X“ und  2 blau mit dem Inhalt „1“. Auf der anderen Seite 2\cdot 6 rote Kästchen mit dem Inhalt „1“ und  5 orange ebenfalls mit dem Inhalt „1“. Da beide Seiten gleich sind ( =), also gleich viel wiegen, befindet sich die Waage im Gleichgewicht.

Nachdem wir uns jetzt etwas Überblick verschafft haben, versuchen wir die Kästchen auf beiden Seiten soweit wie möglich zusammenzufassen, um die Aufgabe übersichtlicher zu bekommen.

Zusammenfassen

Auf der rechten Seite können wir die Kästchen zusammenzufassen, da wir wissen was in ihnen Steckt. Wir haben also  2\cdot 6=12 rot plus  5 orange Kästchen, also insgesamt  17 Kästchen mit dem Inhalt „1“. Hier musst du auf die Regel „Punkt vor Strich“ achten, also erst multiplizieren und dann addieren.

Auf der linken Seite können wir nichts zusammenzufassen, da die grünen und blauen Kästchen einen anderen Inhalt haben. Unser Problem sieht also jetzt so aus:

Zweiter Lösungsschritt zur Bestimmung der Unbekannten: Beide Seiten so weit wie es geht zusammenfassen.

Gleiches zu Gleichem

Nun ziehen wir von beiden Seiten zwei Kästchen ab. So dass wir auf der einen Seite nur Kästchen mit dem Inhalt „X“ haben. Wir wollen ja wissen was „X“ ist. Es sieht also jetzt so aus:

Dritter Lösungsschritt zur Bestimmung der Unbekannten: Beide Seiten kürzen.

Aber noch haben wir kein einzelnes „X“ auf einer der Seiten stehen, sondern  3X“.

Aufteilen

Um auf ein „X“ zu kommen, verteilen wir alle Kästchen gleichmäßig auf drei Waagen, so dass alle Waagen im Gleichgewicht sind.

Vierter Lösungsschritt zur Bestimmung der Unbekannten: Durch den Vorfaktor der Unbekannten teilen.

Wir sehen jetzt, dass ein „X“ soviel wiegt wie  51“. Damit ist  x=5 und wir sind am Ziel angekommen.

4 einfache Punkte zum Ziel

Nun nochmal das Ganze kurz zusammengefasst:

1. Unbekannt („ x“) erkennen.

2. Beide Seiten der Gleichung soweit wie möglich zusammenfassen.

3. Die Gleichung umstellen, so dass auf einer Seite Nur noch Unbekannte stehen.

4. Beide Seiten durch den Vorfaktor der Unbekannten („ 3“) teilen, so dass man eine Gleichung
der Art „ x= ...“ bekommt.

Wenn du dir einmal das Vorgehen eingeprägt hast, dann können dir Taschenrechner helfen noch schneller an das Ergebnis zu gelangen. Lass dich aber nicht dazu verleiten alle Arbeit dem Taschenrechner zu überlassen, denn aus ihm kommt nur Sinnvolles raus, wenn du ihm vorher mit etwas Sinnvollem gefüttert hast. Also Kopf an beim Tippen und nur nicht den Kopf hängen lassen!

Zum Abschluss hier nochmal alle Schritte für dich auf einem Blick. (Zur Vergrößerung bitte das Bild anklicken.)

Lösungsverfahren einer Gleichung mit graphischer Darstellung der einzelnen Schritte.
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