Das Quadrat & Co.

In diesem Artikel wollen wir dir das Wichtigste über einige Arten von Vierecken näher bringen. Da es eine in der Mathematik eine Vielzahl unterschiedlicher Vierecke gibt, wollen wir uns hier auf eine kleine Auswahl an Vierecken beschränken, die dir aber immer wieder begegnen werden und deswegen besonders wichtig sind. Zu dieser kleinen aber feinen Auswahl gehören:

Das Quadrat

Das Rechteck

Die Raute

Das Parallelogramm

Das Drachenviereck

Das Trapez

Bevor es jetzt zu den einzelnen Vierecken geht, wollen wir dir aber noch ein paar allgemeine Dinge über Vierecke erzählen. Zunächst einmal stellt sich ja die Frage: Was ist ein Viereck?
Nun, wie der Name schon sagt und du dir sicherlich auch denken kannst, besitzt ein Viereck vier Ecken. Diese sind wiederum sind die Anfangs- und Endpunkte der vier Seiten. Und das war auch schon die ganze Beschreibung eines Vierecks. Wie du siehst, ist sie sehr allgemein gehalten. Damit trifft die Beschreibung auf alles zu, was vier Ecken und vier Seiten hat, auch wenn du es auf den ersten Blick nicht unbedingt Viereck nennen würdest. So ist auch diese Form ein Viereck, ob du es glaubst oder nicht.

Das Quadrate - allgemein

Eine der nützlichsten Regeln ist, dass die Summer der Innenwinkel in jedem Viereck immer 360° ist. Dabei ist es ganz egal wie das Viereck aussieht! Sogar für ein pfeilförmiges Viereck - wie im oberen Bild - gilt diese Regel. Innenwinkel sind übrigens die Winkel der Ecken eines Vierecks und zwar so gemessen, dass sie innerhalb der Fläche des Vierecks liegen.

Das Quadrat

Das Quadrat gehört mit zu den einfachsten geometrischen Formen, die es überhaupt gibt. Bei ihm sind alle Seiten gleich lang, dazu sagt man auch gleichseitig. Zudem sind auch noch alle Winkel gleich, auch gleichwinklig genannt. Es handelt sich sogar um rechte Winkel. Denn wenn du an die Regel von oben denkst, dass die Summe aller Innenwinkel 360° entspricht, misst jeder der vier Winkel 360° / 4 = 90°, was genau der rechte Winkel ist. Zum Zeichnen eines Quadrates brauchst du also nur eine einzige Angabe und das ist die Seitenlänge und schon kannst du das Quadrat zeichnen.

Das Quadrat

Alternativ kannst du hierfür auch die Länge der Diagonalen nutzen. Denn auch für die Diagonalen eines Quadrates haben einige hilfreiche Eigenschaften. So sind beide Diagonalen gleich lang. Zudem schneiden sie sich gegenseitig genau in ihren Mittelpunkten. Außerdem schneiden sie sich in einem rechten Winkel, sprich sie stehen senkrecht aufeinander.

Fragst du dich jetzt, wie sich das Quadrat zum Rechteck und zur Raute verhält? Dann schau dir doch die beiden kommenden Abschnitte an, dort gehen wir da näher drauf ein. Zunächst sind hier für dich nochmal die wichtigsten Formeln bei der Berechnung von Quadraten zusammengefasst.

Umfang  U = 4 \cdot a
Fläche  A = a^2 = d^2/2
Diagonalenlänge  d = a \cdot \sqrt2

Das Rechteck

Das Rechteck ist schon etwas komplizierter als ein Quadrat. Bei ihm sind nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, aber auch wie beim Quadrat parallel zueinander. Damit ist das Rechteck zwar nicht unbedingt gleichseitig wie das Quadrat, aber immer noch gleichwinklig. Wie du dir jetzt sicher schon denken kannst, sind damit auch alle Winkel des Rechtecks rechte Winkel. Um ein Rechteck zu zeichnen brauchst du also dieses mal beiden Seitenlängen, also nur eine Seite mehr als beim Quadrat.

Das Rechteck

Wahlweise kannst du aber auch hier die Diagonale benutzen. Denn auch für das Rechteck gilt, dass beide Diagonalen gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren. Aber hier ist Vorsicht geboten. Denn im Gegensatz zum Quadrat stehen die Diagonalen beim Rechteck nicht senkrecht aufeinander. Wenn du also ein Rechteck mit Hilfe der Diagonale zeichnen möchtest, musst du mindestens einen Winkel zwischen den Diagonalen kennen.

Wie du also siehst, musst du egal wie du vorgehst, zum zeichnen eines Rechteckes immer einen Größe mehr kennen, als es für das Quadrat nötig war. Die ist aber kein Zufall. So ist das Quadrat im Grunde ein Sonderfall des Rechtecks. Wie du vielleicht schon siehst, erhältst du ein Quadrat, wenn du ein Rechteck nimmst und für beide Seiten gleich lang machst. Hier sind für dich nochmal die wichtigsten Formeln bei der Berechnung von Rechtecken zusammengefasst.

Umfang U = 2 \cdot a + 2 \cdot b
Fläche A = a \cdot b
Diagonalenlänge d = \sqrt{a^2 + b^2}

Die Raute

Die Raute kennst du vielleicht auch unter den Namen Rhombus oder Karo. Sie ähnelt wieder unserem gut bekannten Quadrat. So ist die Raute gleichseitig, alle vier Seiten sind also gleich lang. Auch sind gegenüberliegende Seite parallel zueinander. Rauten sind aber im Gegensatz zu Quadraten nicht zwingend gleichwinklig. Gegenüber liegende Winkel sind aber gleich groß und benachbarte Winkel ergeben zusammengerechnet immer 180°. Um eine Raute zeichnen zu können benötigst du also die Seitenlänge und mindestens einen der beiden Winkel.

Die Raute

Für die Diagonalen gilt wieder, dass sie senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. Im Gegensatz zu den Quadraten sind die aber nicht gleich lang. Damit brauchst du, wie beim Rechteck, eine Größe mehr als beim Quadrat. Entweder die Längen der beiden Diagonalen oder die Seitenlänge und einen Winkel.

Sicher fragst du dich jetzt schon, ob die das Quadrat damit auch ein Sonderfall der Raute ist. Und damit hast du voll und ganz recht. Das Quadrat ist eine Raute mit gleichen Winkeln. Damit ist das Quadrat sowohl ein gleichseitiges Rechteck als auch eine gleichwinklige Raute und die einzige geometrische Form, die sowohl Raute als auch Rechteck ist.

Wenn du die Fläche einer Raute berechnen möchtest, taucht ab und zu die Höhe der Raute (h) auf. Gemeint ist damit der Abstand zweier gegenüberliegenden, parallelen Seiten der Raute. Diesen Abstand bekommst du, wenn du eine Senkrechte auf einen der Seiten zeichnest und deren Länge bis zum Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite misst. Natürlich kannst du die Höhe auch einfach berechnen. Dazu brauchst du nur die Formel:

h=a \cdot \text{sin\,}\alpha = a \cdot \text{sin\,}\beta.

Auch für die Raute haben wir dir hier nochmal die wichtigsten Formeln zusammengestellt.

Umfang U = 4 \cdot a
Fläche A =\frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}

A = a \cdot h

A = a^2 \cdot \text{sin\,}\alpha = a^2 \cdot \text{sin\,}\beta

Diagonalenlängen \overline{AC} = 2 \cdot a \cdot \text{cos\,}\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot a \cdot \text{sin\,}\frac{\beta}{2}\overline{BD} = 2 \cdot a \cdot \text{sin\,}\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot a \cdot \text{cos\,}\frac{\beta}{2}

Das Parallelogramm

Das Parallelogramm oder Rhomboid verhält sich im Prinzip zur Raute wie das Rechteck zum Quadrat. Es ist eine Raute, bei der zwei gegenüberliegende Seiten weiter auseinander gezogen wurden. Die  gegenüberliegende Seiten beim Parallelogramm sind immer noch parallel, daher kommt auch der Name. Auch sind gegenüberliegende Seiten und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Wie bei allen Formen bis hier hin, ergeben auch beim Parallelogramm zwei nebeneinander liegende Winkel zusammengerechnet 180°.

Das Parallelogramm

Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich wieder. Jedoch sind sie weder zwingend gleich lang, wie beim Quadrat, noch stehen sie Rechtwinklig aufeinander, wie bei der Raute. Zum Zeichnen eine Parallelogramms braucht du also die Längen der beiden Diagonalen und einen der Winkel zwischen ihnen. Alternativ kannst du natürlich auch die beiden Seitenlängen und einen der Eck-Winkel benutzen.

Wie du schon siehst, brauchst du immer mehr Größen um die geometrischen Formen zu zeichnen. Das liegt daran, dass die Definition der Formen immer "schwammiger" wird. Das hat aber nicht nur Nachteile, wie du jetzt vielleicht zunächst denken könntest. Denn wenn du immer "schwammiger" definierst, kannst du den Begriff auch für immer mehr Formen verwenden. Das Parallelogramm ist schon so umfassend, dass sowohl Quadrate, Rauten und Rechtecke Parallelogramme sind, auch wenn nicht jedes Parallelogramm zu diesen drei Gruppen gehört. Damit gilt alles, was für Parallelogramme, gilt auch für Quadrate, Rauten und Rechtecke. Und das ist doch mal wirklich hilfreich, oder nicht?

Umfang U = 2 \cdot (a+b)
Höhe zu a h_a = b \cdot \text{sin\,}\alpha = b \cdot \text{sin\,}\beta
Höhe zu b h_b = a \cdot \text{sin\,}\alpha = a \cdot \text{sin\,}\beta
Fläche A = a \cdot h_a = b \cdot h_b

A = a \cdot b \cdot \text{sin\,}\alpha= a \cdot b \cdot \text{sin\,}\beta

Diagonalenlängen \overline{AC} = \sqrt{a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \text{cos\,}\beta}= \sqrt{a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \text{cos\,}\alpha}
\overline{BD} =\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \text{cos\,}\alpha} = \sqrt{a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \text{cos\,}\beta}

Das Drachenviereck

Das Drachenviereck wird häufig auch einfach Drachen genannt, oder wenn man es mathematischer will Deltoid. Im Übrigen zählen auch die Pfeildreiecke zu den Drachendreiecken. Das Drachenviereck besitzt wie das Parallelogramm zwei Paar gleich lange Seiten. Jedoch liegen diese im Gegensatz zum Parallelogramm nebeneinander und nicht gegenüber.

Das Drachendreieck

Die Diagonalen stehen beim Drachenviereck wieder senkrecht aufeinander, jedoch wird nur eine der Diagonalen von der anderen halbiert - hier \overline{BD} - die andere nicht. Auch existiert nur ein Paar gleicher Winkel, die in den Ecken der halbierten Diagonale - hier die Winkel in den Ecken B und D. Die anderen beiden Winkel werden dafür von der Diagonalen halbiert, was nur für diese gilt.

Ein Drachenviereck kannst du dir als Raute vorstellen, bei der einen Ecke weiter weg gezogen wurde. Natürlich ist die Raute selbst wieder eine Sonderfall des Drachenvierecks.

Umfang U = 2 \cdot (a+b)
Fläche A = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2}

Das Trapez

Das Trapez besitzt lediglich zwei Seiten, die parallel zueinander sind. Diese werden für Grundseiten genannt. Die längere der beiden Grundseiten nennt man oft auch Basis. An die anderen beiden Seiten, die man auch Schenkel nennt, werden keinerlei Anforderungen gestellt. Wie auch bei den anderen Formen gibt es beim Trapez zwei Paar benachbarter Winkel, die jeweils zusammengerechnet 180° ergeben.

Das Trapez

Unter der Höhe des Trapezes h versteht man den Abstand der beiden Grundseiten voneinander. Wie du am Bild schon sehen kannst, schneiden sich die Diagonalen nicht im rechten Winkel und sie halbieren sich auch nicht. Jedoch schneiden sie sich im gleichen Verhältnis. Das heißt, dass sich die der kurzen Teile einer Diagonalen zu seinem langen Teil genauso verhält wie der kurze zum langen Teil der anderen Diagonalen.

Umfang U = a+b+c+d
Höhe h = b \cdot \text{sin\,}\gamma = b \cdot \text{sin\,}\beta = d \cdot \text{sin\,}\delta = d \cdot \text{sin\,}\alpha
Fläche A = \frac{a+c}{2} \cdot h
Diagonalenlängen \overline{AC} = \sqrt{a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \text{cos\,}\beta}= \sqrt{c^2+d^2-2\cdot c \cdot b \cdot \text{cos\,}\delta}
\overline{BD} =\sqrt{a^2+d^2-2\cdot a \cdot d \cdot \text{cos\,}\alpha} = \sqrt{b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \text{cos\,}\gamma}
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