Satz des Pythagoras - einfach erklärt

Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten Rechenregeln, in der Mathematik werden dies auch Sätze genannt. Daher wird er dir auch immer wieder begegnen. Schauen wir uns also zusammen mal an, was in einem typischen Mathematik-Buch zum Satz das Pythagoras steht:

Seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Hierbei seien a und b die Katheten und c die Hypotenuse. So ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates:

a² + b² = c².

Ähm, ja,. Das hilft dir jetzt natürlich auch nicht wirklich weiter so umständlich wie das formuliert ist. Lass uns also erst einmal zusammen durchgehen, was da alles in diesem furchtbar formulierten Satz drinsteckt, bevor wir gemeinsam klären, ob des Satz des Pythagoras stimmt. Am Ende geben wir dir noch ein paar Tipps, wo dir der Satz des Pythagoras im Alltag helfen kann.

Tipp: Auch ein Taschenrechner*, wie der CASIO FX-991DE, kann dir bei solchen Aufgaben helfen.

Was steckt drin?

Wenn du dir den ersten Satz anschaust, siehst du schon, dass sich der Satz das Pythagoras auf ein rechtwinkliges Dreieck bezieht. Rechtwinklige Dreiecke haben ganz besondere Eigenschaften, die du bei anderen Dreiecken nicht findest. So ist einer der Winkel im Dreieck der namensgebende rechte Winkel oder 90°-Winkel. Auch gilt nur für diese Dreiecke der Satz des Pythagoras. Wenn du dir nun ein rechtwinkliges Dreieck aufzeichnest, sieht es ungefähr so aus.

Satz des Pythagoras 1/3

Zwar wird im ersten Satz auch gesagt, dass die Seiten dieses rechtwinkligen Dreiecks a, b und c heißen, welches nun aber welche ist, weißt du noch nicht.

 

Hypotenuse, Kathete?

Der nächste Satz aus dem Mathematik Lehrbuch sagt dir jetzt welche Seite welchen Namen trägt:

Hierbei seien a und b die Katheten und c die Hypotenuse.

Aber was ist nun schon wieder eine Hypotenuse und eine Kathete?

Nun das rechtwinklige Dreieck ist so besonders, dass seien Seiten eigene Namen haben. So nennt man die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt Hypotenuse. Die Hypotenuse ist auch immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Die anderen beiden Seiten heißen Katheten und sind nicht so besonders, dass wir sie weiter voneinander unterscheiden müssen.

In der Zeichnung können wir also die drei Seiten des Dreiecks nun mit ihren Namen versehen.

Satz des Pythagoras 2/3

Um für dich nochmal zu verdeutlichen welche Seite nun die Hypotenuse ist, haben wir sie in rot eingezeichnet. Die beiden Katheten sind in blau gezeichnet.

 

Die Sache mit den Quadraten

Lass uns nun zu dem entscheidenden Teil des Lehrbuch-Satzes kommen:

So ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates:

a² + b² = c².

Das ist die wichtige Aussage des Satzes des Pythagoras, nur was sind Kathetenquadrate und deren Flächeninhalte?

Auch wenn der Name echt kompliziert kling, steckt hinter dem Kathetenquadrat nichts allzu kompliziertes. Im Grunde ist das Kathetenquadrat nichts anderes als ein Quadrat dessen Seitenlänge so lang wie die Kathete ist. Da ein Quadrat ja eine rechtwinkliges Viereck mit gleich langen Seiten ist, ist die Fläche des Kathetenquadrates nichts anderes als die Länge der Kathete mal sich selbst.

Dies gilt für beide Katheten. Wie du dir sicher schon denken kannst, sieht es mit dem Hypotenusenquadrat und dessen Fläche auch nicht anders aus. Du musst hier nur die Länge der Kathete durch die der Hypotenuse ersetzen.

Wenn du dir das alles nun in deine Zeichnung einzeichnest, sieht sie ungefähr so aus.

Satz des Pythagoras 3/3

Damit du die beiden Kathetenquadrate besser unterscheiden kannst, haben wir sie dir unterschiedlich eingefärbt. Der Satz des Pythagoras sagt nun, dass die blaue Fläche zusammen mit der grünen Fläche genauso groß sind, wie die rote Fläche. Oder eben als Formel geschrieben:

a² + b² = c².

 

Stimmt das denn?

So, bis jetzt haben wir dir ja gesagt was im Satz des Pythagoras drinsteckt, aber einen Beweis, dass das ganze auch stimmt sind wir dir noch schuldig. Um den Satz des Pythagoras zu beweisen gibt es mehr viel mehr als nur eine Möglichkeit. Einen der schönsten und anschaulichsten wollen wir dir nun zeigen.

Zunächst nimmst du dir wieder das rechtwinklige Dreieck mit den drei Quadraten. In dem Bild unten ist es nochmal zu sehen, dieses Mal haben wir das Dreieck zusätzlich gelb eingefärbt.

Für den ersten Schritt brauchst du die beiden Kathetenquadrate (a² und b²) sowie viermal das rechtwinklige Dreieck. Die sechs Flächen legst du jetzt so hin, wie du rechts Bild siehst. Jetzt hast du ein großes Quadrat mit den Seitenlänge (a + b).

Satz des Pythagoras Beweis 1/2

Im zweiten Schritt legst du zunächst einmal die beiden Kathetenquadrate weg. Dann drehst du zwei der vier Dreiecke so, wie es unten im Bild gezeigt ist. So hast du nun immer noch ein großes Quadrat der Seitenlänge (a + b). In der Mitte des großen Quadrates findest du nun aber ein etwas kleineres Quadrat, das auf einer Ecke steht. Wenn du etwas genauer hinschaust, wirst du feststellen, dass die Seiten dieses Quadrates immer die längste Seite der rechtwinkligen Dreieck sind. Wie du dich sicher erinnerst, werden diese Seiten die Hypotenusen genant, in unserem Beispiel also c.

Satz des Pythagoras Beweis 2/2

Der Trick an der ganzen Sache ist jetzt folgender. Die Fläche es großen Quadrates hast du ja nicht geändert. Deswegen muss die Fläche des neuen, kleineren Quadrates genauso groß sein, wie die Flächen, die du vorher weggelegt hast. Weggelegt hattest du ja vorhin die beiden Kathetenquadrate a² und b². Die Fläche des neue Quadrates kannst du als Quadrat der Hypotenusen – oder eben Hypotenusenquadrat – berechnen und erhältst dafür c². Da die Summe der ersten beiden gleich dem dritten sein muss, kannst du also schreiben:

a² + b² = c².

Und damit hast du auch schon den Satz des Pythagoras bewiesen. Was doch alles gar nicht so schlimm oder?

 

Anwendung

Der Satz des Pythagoras kannst du also immer dort nutzen, wo du die Länge einer Dreiecks-Seite aus den beiden anderen Seiten berechnen willst. Vielleicht denkst du dir jetzt, dass du so was nur im Mathematik-Unterricht machen musst. Aber auch im Alltag kann dir der Satz des Pythagoras sehr hilfreich sein. So kannst du damit die Bilddiagonale eines Fernsehers oder eines Bildschirms berechnen oder die Entfernungen in der Luftlinie bestimmen.

Zudem gibt es noch einen ganz besonderen, praktischen Trick, der ausnutzt, dass der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. Stell dir vor, du willst in einem Raum einen Boden verlegen – Fliesen, Teppich, Parkett, was du gerne magst.

Dafür möchtest du wissen, ober die Ecken des Raumes auch wirklich rechtwinklig sind, oder ob du den Bodenbelag anders schneiden musst. Dazu misst du von der Ecke aus zwei Stecken, entlang der beiden Wände und markierst die Endpunkte. Wie lang diese Strecken sind, kannst du selbst bestimmen. Sie sollten aber nur so lang sein, dass du sie noch allein abmessen kannst.

Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du jetzt die dritte Seite dieses Dreiecks. Dabei musst du nicht bis auf die dritte Nachkommastelle genau rechen, grobes Überschlagen reicht vollkommen aus. Das heißt wenn deine beide Strecken 0,8m lang sind, dann sollte die dritte Seite ungefähr 1,1m lang sein. Nun misst du zusätzlich die direkte Entfernung der beiden Endpunkten voneinander, die du ja markiert hattest. Wenn diese Strecke gleich dem Ergebnis deiner Rechnung ist, dann ist die Ecke rechtwinklig. Wenn nicht, dann ist der Raum krumm.

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